Pembuktian Matematika

 Dalam logika matematika dikenal ada 2 pembuktian matematika,

1. Pembuktian langsung
2. Pembuktian tidak langsung, dibagi atas pembuktian kontraposisi dan kontradiksi

     A.  PEMBUKTIAN LANGSUNG

        Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis  p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens, tollens, dan silogisme.

Contoh   : Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n² adalah bilangan ganjil !

Jawab    :

Misalnya : p : n adalah bilangan bulat ganjil

               q  : n² adalah bilangan bulat ganjil

Akan dibuktikan p => q benar.

Karena n ganjil, yaitu n = 2k +1, k € C

Maka  n² = (2k + 1)²

              = 4k² +4k +1

              = 2(2k² + 2k) + 1

              = 2m + 1

Dengan m = 2k² + 2k, yang berarti n² adalah bilangan bulat ganjil

Jadi, terbukti p=>q benar.

B. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

B1. PEMBUKTIAN KONTRAPOSISI

            Untuk membutikan ( p=>q ) benar, dapat dilakukan dengan memisalkan –q benar dan ditunjukan –p benar. Dari –q diperoleh –p benar sehingga (-q => -p) adalah benar.

Contoh          :

            Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n² adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil!

Jawab                        :

Untuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung dengan kontraposisi.

Misalnya  p    : n² adalah bilangan ganjil

                 q     : n adalah bilangan ganjil

kemudian misalnya –q benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k

sehingga n²    = (2k)²

 = 4k²

 = 2(2k²)

 = 2m dengan m = 2k²

Yang berarti n² adalah bilangan genap.

Dengan demikian, -p : n² adalah bilangan genap

                                    -q : n adalah bilangan genap

Dan karena –q => -p adalah benar dan p => q ≡ -q => -p

Maka terbukti p => q adalah benar.

Jadi, terbukti bahwa jika n² adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.

B2. PEMBUKTIAN KONTRADIKSI

Untuk membuktikan (p => q) benar, dapat dilakukan dengan mengandaikan –q benar. Dari –q benar kita tunjukan suatu kontradiksi dengan p benar atau dengan pernyataan benar lainnya. Dengan demikian langkah seharusnya adalah q benar sehingga (p => q) benar .

Contoh          :

Buktikan bahwa ”jika n² adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil” dengan bukti tak langsung!

Jawab                        :

Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k, k € B.

Karena n = 2k

Maka n²  = (2k)² = 4k² =2(2k²)

                 = 2m dengan m = 2k²

Sehingga n² adalah bilangan genap, kontradiksi dengan  n² adalh bilangan ganjil.

Jadi, terbukti bahwa jika n² adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.

Sumber  : Buku Mathematics Bilingual :)